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Archives de Modèle:Thème du jour

Septembre 2006Modifier

Proportionnalité
On dit que deux mesures sont proportionnelles si on peut passer de l'une à l'autre en multipliant ou divisant par une constante appelée : coéfficiant de proportionnalité.

Un tableau possède des valeurs proportionnelles si entre les deux lignes, on peut passer par l'une et l'autre des valeurs en multipliant ou divisant par le coéfficiant de proportionnalité.

Dans un graphique, si les points représentant les valeurs sont alignés par rapport à l'origine, on peut dire que les valeurs sont proportionnelles.


Addition Représentation graphique
L'addition est l'une des quatre opérations élémentaires du calcul mathématique. Cette opération permet d'ajouter des éléments à des autres.

On appelle somme le résultat d'une addition.

On appelle terme sont les nombres composant l'addition.

On peut ranger les différents résultats de l'addition dans une table.

On peut additionner des nombres entiers entre eux mais aussi des nombres décimaux entre eux.

Graph4.jpg

Diagramme circulaire ou en camenbert

La représentation graphique concerne la façon dont on représente des données sur un schéma. Il existe plusieurs types de représentations graphiques adaptées dans chaque situation de problèmes.

Les résultats dans un tableau peuvent être résumer par des représentations graphiques de différents types. Cela dépend des types d'informations qu'il y a dans ce tableau.

En utilisant des représentations graphiques, on peut ainsi visualiser l'évolution des valeurs numériques. Quand on dit que la vitesse d'un cycliste augmente au cours de son trajet, on peut par exemple modéliser cela par un graphique montrant qu'effectivement, la vitesse a bien augmenté.

Quand on regarde une courbe d'évolution des actions d'une entreprise au cours du temps, on peut aussi voir une certaine information à travers des évolutions.

En utilisant des représentations graphiques, on peut lire plus facilement des informations.

Utilisation de tableaux Organisation et représentation de données
L'utilisation de tableaux en mathématiques permet de classer des infomrations dans un exercice ou dans un problème. Le tableau constitue une représentation graphique assez particulière car elle n'utilise pas d'axes mais des lignes et des colonnes.

On peut ranger les informations d'un problème dans un tableau. Dans un problème, par exemple, si on dit que le prix du ticket de bus est de 2,50€, 3€, 3,50€ et 4€, on peut calculer le montant total de sa dépense en ticket de bus par semaine en utilisant un tableau.

Dans cette partie, il est question d'organiser et représenter dans un tableau ou sur un graphique. Dans les problèmes, il sera question de ressembler une quantité d'informations. Ces informations pourront être demander sous forme de questions et quelque fois, il va falloir représenter ces informations (souvent des entités numériques) dans des graphiques.

Tableaux

On peut ranger les informations d'un problème dans un tableau. Il existe plusieurs types de tableaux. Par exemple, pour en revenir au problème précédent, si on dit que le prix du ticket est de 2,50€, 3€, 3,50€ et 4€, on peut calculer le montant total de sa dépense en ticket de bus par semaine.

Graphiques

On peut aussi représenter les informations collectés dans un tableau sur un graphique. Il existe plusieurs types de graphiques (voir l'article détaillée).

On peut par exemple, reprendre l'exemple du problème où on a construit un tableau pour résumer toutes les informations toutes les informations.

On peut dresser un graphique (dont la consturction est détaillée dans l'article représentation graphique).

Cercle Théorème de l'angle inscrit
Cercle1.png

Cercle de centre A et de rayon AB

Un cercle est une figure géométrique constituée de points situés à égale distance d'un point nommé centre. Pour tout point M appartenant au cercle de centre A, le rayon est égal à AM et à toujours la même distance. La surface délimité par le cercle s'appelle le disque.

Angle inscrit1.png

Deux angles inscrits dans un cercle interceptant le même arc de cercle ont la même mesure.

Angle inscrit2.png

Dans un cercle, un angle inscrit est égal à la moitié de l’angle au centre interceptant le même arc.

Système d'équations Factorisation
On appelle système ( sustéma en grec qui signifit ensemble) de deux équations à deux inconnues l'ensemble de deux équations noté sous la forme.

\left\{\begin{matrix}ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{matrix}\right.

( le système est du premier degré car il ne comporte pas de terme inconnu au carré ni au cube, etc.)

Résoudre un système d'équations c'est chercher les valeurs de x et les valeurs de y correspondantes ( le couple (x;y)), qui vérifient les deux égalités données.

Soit le système

\left\{\begin{matrix}x+y=1\\2x+y=2\end{matrix}\right.

En remplaçant x par 1 et y par 0, on obtient :

\left\{\begin{matrix}1+0=1 \\ 2 \times 1+0=2 \end{matrix}\right.

Ce système d'équations admet comme solution le couple (1;0).

N.B. Il se peut que les équations ne se présentent pas sous la forme

ax+by=c

\left\{\begin{matrix}2x+\frac{5y}{5}=c\\ \frac{ 4x}{2}+6y=41\end{matrix}\right.

On faut d'abord essayer de les mettre sous cette forme en enlevant soit les parenthèses, les crochets,etc... , avant de les résoudre.

On doit connaître trois méthodes de calcul et une méthode graphique de résolution des systèmes.

La factorisation permet de réduire une expression. On peut passer d'une écriture en somme à une écriture en somme de produits de facteurs. En fait, la factorisation peut être une distribution mais à l'envers.

On peut factoriser des expressions comme 15x+3=4. Dans cet exemple, cela donne 3(5x+1)=4.

Cela reste un travail délicat de trouver le facteur commun. Si on n'arrive pas à le trouver du premier coup, on peut utiliser la méthode simple de résolution des équations.

On peut aussi factoriser une expression comme (2x+3)^2+(2x+3)(7x-2)=0. Ainsi, on remarque que (2x+3) peut être un facteur commun à (2x+3) et (7x-2). La factorisation s'écrit alors (2x+3)(2x+3+7x-2).

Août 2006Modifier

Distributivité
Fléches développement.jpg

Pour ne pas se tromper lors de développements

La distributivité sert à développer, sous certaines conditions, des identités remarquables ou encore des expressions tel que a(b+c), ou (a+b)(c+d) (où a,b,c et d sont quatre nombres donnés).

Pour ne pas se tromper dans son développement, on peut utiliser des flèches qui relient chaque terme.

Par exemple, si on a une expression du type (a+b)(c+d), on peut faire quatre flèches, une partant de a vers c, une autre partant de a vers d, une autre partant de b vers c, une autre partant de b vers d.


Equation Identités remarquables
Pour les mathématiciens, la notion d'équation permet d'instaurer un ordre entre les divers entités qui compose les mathématiques.

Une équation est une égalité pouvant contenir une ou plusieurs inconnus (souvent la première inconnu est noté x). Pour résoudre une équation, il faut connaître la (ou les) valeur(s) de x qui permet de vérifier l'égalité entre les deux entités.

Soit a et b deux nombres.

Les identités remarquables à retenir :
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Fonction identité Fonction affine
Fonction identité.png

Représentation graphique d'une fonction identité

La fonction identité est une fonction très particulière. On la retrouve dans le domaine de l'analyse (fonction numérique) mais aussi en géométrie.

Tracéfctaff3.png

Exemple d'une fonction affine

Soit a et b deux nombres donnés, une fonction affine est une fonction x \mapsto ax+b. Son ensemble de départ est \mathbb{R} et son ensemble d'arrivée est aussi \mathbb{R}.

On peut représenter graphiquement une fonction affine grâce à deux points. Sa représentation graphique donne lieu à une droite où a est le coefficiant directeur et b l'ordonnée à l'origine.

Fonction Fonction linéaire
Une fonction peut être par une transformation d'une chose en une autre. Par exemple, les isométries sont des fonctions qui transforment une entité géométrique (un point, une droite, un polygone) en une autre entité géométrique.

Au collège, on étudie quelques fonctions qui transforment des nombres en des nombres mais aussi les isométries (ou transformations géométriques). Les fonctions numériques permettent de modéliser certains problèmes.

On appelle image d'un objet, ce qu'on a transformé grâce à la fonction.

Tracéfctlin5.jpg

Exemples de représentation graphique de fonctions linéiares

Une fonction linéaire est introduite lors des proportionnalités. C'est le type de fonctions le plus facile qu'on rencontre dans le cursus scolaire. On peut aussi représenter graphiquement cette fonction en prenant un repère orthonormé d'origine O, de vecteurs de base \overrightarrow i et \overrightarrow j. Sachant que l'axe des abscisses représente les valeurs de x et l'axe des ordonnées, les valeurs de y.

Numération Théorème de Pythagore
Chiffresarabes.jpg

Les chiffres arabes, chiffres utilisés par la majorité des pays dans le monde, constitue un système décimale (ou base 10).

La numération est la représentation des nombres. Nous, nous écrivons en base 10. C'est à dire qu'on utilise 10 symboles (ici des chiffres arabes comme 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Il existe d'autres systèmes de numération qu'on détaillera dans cet article. Ces systèmes de numération sont crées en même temps que l'écriture pour faciliter le commerce et la datation des jours.

Il existe plusieurs systèmes de numération comme le système binaire (utilisé pour les ordinateurs), le système hexadécimal (base 16).

Pyt01.jpg

Illustration du théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore permet de calculer des longueurs dans un triangle rectangle et sa réciproque permet d'établir la nature du triangle étudié (on montrera par la réciproque du théorème de Pythagore permet de dire que, sous certaines conditions, que le triangle étudié est un triangle rectangle).

Le théorème de Pythagore s'énonce comme ceci :
« Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit. »

Soit un triangle rectangle ABC rectangle en A (donc BC est l'hypoténuse). Le théorème dit que :

Si ABC est un triangle rectangle alors BC^2=AB^2+AC^2

Juillet 2006Modifier

Triangle Rotation
Tri2.jpg

Exemple d'un triangle

En géométrie, un triangle est un polygone à trois côtés. Elle peut constituer une surface, d'où la possibilité de calculer son aire. On peut définir un triangle en prenant trois points non alignés et en traçant les segments reliant ces trois points.

Comme le triangle forme une surface plane, on peut calculer son périmétre (P=AB+BC+AC) et son aire (A=\frac12 B\times H)

Dans un triangle, on peut avoir des droites et points spéciaux comme la hauteur, la médiane, la médiatrice et la bissectrice.

On peut construire quelques triangles remarquables comme le triangle rectangle, le triangle isocèle et le triangle équilatéral.

Rot1.jpg

Rotation de centre O et d'angle 50° qui transforme A en B

Une rotation est une transformation qui qualifie un mouvement circulaire. Soit un point A et O. On veut construire la rotation de centre O et d'angle 50° qui transforme A en B.

Plus généralement,
Soit un point M, un point O et un angle \alpha\,.
On dit que le point M' est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle \alpha\, si, et seulement si:

  • M' appartient au cercle de centre O et de rayon OM;
  • \widehat{MOM'}=\alpha\,


Voir aussiModifier

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