Triangle
De Mathématiques.
Sommaire |
[modifier] Introduction
En géométrie, un triangle est un polygone à trois côtés. Elle peut constituer une surface, d'où la possibilité de calculer son aire. On peut définir un triangle en prenant trois points non alignés et en traçant les segments reliant ces trois points.
[modifier] Somme des angles dans un triangle
En construisant un triangle quelconque, on peut remarquer que la somme de ses angles est égale à 
°
Soit un triangle 
quelconque, on peut alors dire que 
[modifier] Démonstration
Une démonstration possible faisant intervenir la notion d'équation les triangles isoceles ont deux cotes egaux
[modifier] Triangles particuliers
Quelques triangles particuliers :
 Le triangle |
 Le triangle |
 Le triangle |
[modifier] Triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle quredarc-royal possède deux côtés de même longueur. Ainsi par la propriété sur la somme des angles dans un triangle, on peut dire que ce triangle possède deux angles égaux.
Quand on écrit qu'un triangle est isocèle en 
, on sait alors que 
et que 
[modifier] Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle qui possède trois côtés de même longueur. On peut alors dire que les trois angles formés par le triangle sont tous égaux à 
°.
[modifier] Points et droites particuliers dans un triangle
[modifier] Hauteurs et orthocentre
Une hauteur est une droite qui passe par un des sommets et coupe perpendiculairement au côté opposé. Il en existe trois dans un triangle (trois côtés et trois sommets). Ces trois droites se coupent en un point qu'on appelle orthocentre.
[modifier] Médianes et centre de gravité
Une médiane est une droite qui passe par un des sommets et coupe en son milieu le côté opposé. Il en existe trois dans un triange. Ces trois droites se coupent en un point qu'on appelle centre de gravité.
Soit un triangle quelconque, 
milieu de 
et 
son centre de gravité (intersection de deux médianes). Alors on a toujours 
.
[modifier] Médiatrices et centre du cercle circonscrit
Une médiatrice est une droite qui passe perpendiculairement par un des milieu des côtés du triangle. Il en existe trois dans un triangle. Ces trois droites se coupent en un point qu'on appelle centre du cercle circonscrit
[modifier] Bissectrices et centre du cercle inscrit
Une bissectrice est une droite partageant un angle en deux. Il en existe trois dans un triangle. Ces trois droites se coupent en un point qu'on appelle centre du cercle inscrit
Texte italique
[modifier] Périmètres et aires
Comme le triangle forme une surface plane, on peut calculer son périmètre et son aire.
[modifier] Périmètre d'un triangle.
Il suffit de calculer la somme des longueurs de chaque côté formant le triangle.
Soit un triangle quelconque, on note 
son périmètre. On a donc 
[modifier] Aire d'un triangle
Comme un triangle rectangle peut-être obtenu en divisant en deux parties égales un rectangle selon sa diagonale, l'aire d'un triangle rectangle en 
est simplement le demi produit des longueurs 
et 
soit 
.
En traçant une hauteur d'un triangle quelquonque, on peut le décomposer en deux triangles rectangles. En utilisant la formule précédente, on trouve alors que l'aire d'un triangle est simplement la moitié du produit de la longueur de la hauteur 
par la longueur du côté opposé (ici 
) soit 
.
[modifier] Exercices
[modifier] Exercice 1
Enoncé
Soit un triangle tel que 
.
On trace 
la bissectrice de l'angle 
(
est sur 
).
Soit 
et 
les milieux des côtés 
et respectivement .
La droite coupe la droite 
en 
.
Montrer que l'angle 
est droit.
- Montrer que
est un angle droit revient à montrer que le triange 
est un triangle rectangle en
- D'après le théorème des milieux, on peut en déduire que
.
- Comme , on peut en deduire que
.
- Donc :
est un triangle isocèle en donc 
- On sait aussi que est le milieu de
. Donc 
- Si on trace un cercle de diamètre , on peut remarquer que ce cercle a pour centre et il passe par trois points (
).
- Donc : On peut dire que
est un triangle rectangle en donc 
