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Systèmes d'équations

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On appelle système (sustēma en grec qui signifie « ensemble ») de deux équations à deux inconnues l'ensemble de deux équations noté sous la forme :

\left\{\begin{matrix}ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{matrix}\right.

(Le système est du premier degré — on dit aussi que le système est linéaire — car il ne comporte pas de terme inconnu au carré ni au cube, etc.)

IntroductionModifier

Résoudre un système d'équations, c'est chercher les valeurs de x et les valeurs de y (le couple (x;y)) qui vérifient les deux égalités données.

Soit le système :

\left\{\begin{matrix}x+y=1\\2x+y=2\end{matrix}\right.

En remplaçant x par 1 et y par 0, on obtient :

\left\{\begin{matrix}1+0=1 \\ 2 \times 1+0=2 \end{matrix}\right.

Ce système d'équations admet comme solution le couple (1;0).

N.B. : Il se peut que les équations ne se présentent pas sous la forme :

ax+by=c

Exemple : \left\{\begin{matrix}2x+\dfrac{5y}{5}=c-4x\\ \dfrac{4x}{2}=41+6y\end{matrix}\right.\qquad (*)

On doit d'abord essayer de les mettre sous cette forme en passant les termes nécessaires du membre de gauche dans le membre de droite (et vice versa si besoin), et en regroupant les membres de même type entre eux (les termes en x avec les termes en x, les termes en y avec les termes en y), puis on pourra ensuite résoudre l'équation grâce aux méthodes qui suivent.

L'exemple (*) devient alors : \left\{\begin{matrix}2x+\dfrac{\not5y}{\not5}+4x=c\\ \dfrac{\not2\times2x}{\not2}-6y=41\end{matrix}\right.

Soit encore : \left\{\begin{matrix}6x+y=c\\ 2x-6y=41\end{matrix}\right.

On a bien un système d'équations dont les équations sont de la forme ax+by=c. Dans la première équation, a=6, b=1 ; dans la deuxième, a=2, b=-6 et c=41. (Il est possible de résoudre ce système mais les valeurs de x et y dépendront de c — ce qui n'est après tout pas un problème, car on a fait ce que l'on voulait : résoudre l'équation.)


On doit connaître trois méthodes de calcul et une méthode graphique de résolution des systèmes.

Les 4 règlesModifier

Règle 1Modifier

Soient trois nombres  a,\;b\text{ et }c  :

parce que

alors que

des que ça se fait

.

Règle 2Modifier

Soient deux nombres a et b et un nombre c non nul :

Si a\times c = b \times c , alors a = b .

Règle 3Modifier

Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : si ab = 0 alors  a=0 ou b=0.

Règle 4Modifier

Soient quatre nombres  a, b, c, d  : Si \left\{\begin{matrix}a=b \\ et \\ a+c=b+d \end{matrix}\right. alors c=d .

Résoudre un système par substitutionModifier

Cette méthode consiste à isoler l'une des inconnues des deux équations, puis de remplacer son expression dans l'équation qui n'a pas été utilisée.

ExempleModifier

x+y=12 (1)

2x+y=19 (2)

1) On exprime une des inconnues en fonction de l'autre.

Dans ce système, on isole y par exemple, grâce à la première équation (1) :

x+y=12

y=12-x


2) On remplace y par 12-x dans la deuxième équation (2), puis on résout l'équation obtenue qui a plus d'une seule inconnue.

2x+y=19 devient 2x+12-x=19

=>

2x+12-x=19

x+12=19

x+12-12=19-12

x=7

3) On détermine la valeur de l'autre inconnue.

y=12-x

y=12-7

y=5

On peut alors affirmer qu'un couple est solution, et que c'est le couple : (x;y)=(7;5)

Résoudre un système par combinaison Modifier

Cette méthode consiste à multiplier les deux membres d'une équation par un même nombre de façon à avoir le même coefficient devant x (ou y). Puis on soustrait membre à membre les deux équations pour annuler les x (ou les y) et avoir un système à une équation et une inconnue, que l'on sait résoudre.

On a ensuite la valeur d'une inconnue, et il ne reste plus qu'à la remplacer dans une des deux équations de départ, pour trouver l'autre inconnue.


ExempleModifier

\textstyle2x+4y=20\qquad(1)

\displaystyle7x+8y=52\qquad(2)

1) On repère les coefficients devant les x et les y. Ici, on a :

\textstyle2x+{\color{red}4y}=20\qquad(1)

7x+{\color{red}8y}=52\qquad(2)

Les coefficients devant le ysont respectivement 4 et 8, et on sait que 8=4X2. On choisit donc le coefficient 2 qui permettra par multiplication d'obtenir 8ydans l'équation (1). Mais pour ce faire, il faut multiplier les deux membres de l'équation (1) par 2, sinon ça changerait l'équation, ce qu'on n'a pas le droit de faire.


2) En multipliant par 2 les deux membres de l'équation (1), on obtient :

{\color{green}4x+8y}={\color{blue}40}\qquad(1)

{\color{green}7x+8y}={\color{blue}52}\qquad(2)


3) On soustrait les égalités membre à membre et on résout l'équation obtenue :

{\color{green}(4x+8y)-(7x+8y)}={\color{blue}40-52}\qquad (1)-(2)

On obtient :

\displaystyle-3x=-12

On voit bien que les y se sont annulés quand on a fait la soustraction. Il nous reste donc une équation à une inconnue :

x=\frac{-12}{-3}

\displaystyle x=4

On a ainsi obtenu une des deux inconnues.


4) Il s'agit maintenant de déterminer la valeur de y :

Comme on sait que x=4, alors on remplace x dans l'équation (1) (ou dans l'équation (2), cela marche aussi) :

\textstyle2{\color{blue}x}+4y=20\qquad(1)

On remplace x par 4 :

2\times{\color{blue}4}+4y=20

\Leftrightarrow\quad\textstyle8+4y=20

\Leftrightarrow\quad\textstyle4y=20-8

\Leftrightarrow\quad\textstyle4y=12

\text{Donc : }\textstyle y=3

Par la méthode de combinaison, on a donc trouvé que cette équation admet comme solution le couple (x,y)=(4,3).


Pour vérifier notre solution, il suffit de remplacer x et y par leurs valeurs dans les deux équations de départ. Si en remplaçant x et y par leurs valeurs dans les deux équations, on n'obtient pas d'absurdité (c'est-à-dire une égalité fausse), alors nous avons trouvé la bonne solution.

Vérifions-le :

\textstyle2x+4y=20\quad(1)

\textstyle7x+8y=52\quad(2)

En remplaçant x par 4 et y par 3, on obtient :

2\times4+4\times3=8+12=20

Donc l'équation (1) est vérifiée;

7\times4+8\times3=28+24=52

Donc l'équation (2) est vérifiée.

Le couple (4,3) est bien solution de cette équation.


RemarqueModifier

  • Dans les deux méthodes précédentes (substitution et combinaison), le principe est d'éliminer une des deux inconnues pour se trouver avec une équation à une seule inconnue.

Résoudre un système par comparaison Modifier

Cette méthode consiste à extraire la même inconnue des deux équations en fonction de l'autre inconnue, puis à écrire l'égalité des expressions obtenues.

\left\{\begin{matrix}2x-5y=-9\qquad(1)\\2x+4y=9\qquad(2)\end{matrix}\right.

L'équation (1) s'écrit aussi :

2x=5y-9\qquad(3)

(on fait passer les y et les connues dans le membre de droite)

Quant à l'équation (2), on peut également l'écrire :

2x=-4y+9\qquad(4)

(On fait passer les y et les connues dans le membre de droite.)


(3) et (4) :

5y-9=-4y+9

5y-9+9+4y=-4y+4y+9+9

9y=18

y=2

D'où


2x=5\times 2 -9

2x=10-9

2x=1

x=\frac{1}{2}

La solution de ce système d'équations est le couple (2;\dfrac{1}{2}).


Dans un problèmeModifier

Lors d'un spectacle, la famille A, composée de 4 adultes et de 3 enfants, a payé 206 £. Pour le même spectacle, la famille B, composée de 2 adultes et de 2 enfants, a payé 114 £.

Quel est le tarif d'un adulte et d'un enfant ?


Pour résoudre ce problème, nous allons procéder en 5 étapes :

  • Etape 1 : Choix des inconnues.

On note x le tarif d'un adulte et y celui d'un enfant

  • Etape 2 : Mise en équation.

\left\{\begin{matrix}4x+3y=206\\2x+2y=114\end{matrix}\right.

  • Etape 3 : Résolution du système d'équations.

\left\{\begin{matrix}4x+3y=206\\2x+2y=114\end{matrix}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}4x+3y=206\\4x+4y=228\end{matrix}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-y=-22\\4x+4y=228\end{matrix}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=22\\4x+4y=228\end{matrix}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=22\\4x+4\times 22=228\end{matrix}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=22\\4x+88=228\end{matrix}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=22\\4x=228-88\end{matrix}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=22\\4x=140\end{matrix}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=22\\x=\frac{140}{4}\end{matrix}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=22\\x=35\end{matrix}\right.

  • Etape 4 : Vérification du système d'équation.

\left\{\begin{matrix}4x+3y=206\\2x+2y=114\end{matrix}\right.


\left\{\begin{matrix}4\times 35+3\times22=206\\2\times 35+2\times 22=114\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}140+66=206\\70+44=114\end{matrix}\right.


  • Etape 5 : Conclusion.

Le tarif d'un adulte est de 35 £ et celui d'un enfant est de 22 £ .

ExercicesModifier

1.

a.\left\{\begin{matrix}4x-2y=14\\3x+5y=4\end{matrix}\right.

b.\left\{\begin{matrix}5x+2y=18\\x-2y=6\end{matrix}\right.

c.\left\{\begin{matrix}x+3y=12\\2x+y=34\end{matrix}\right.


2.

a.\left\{\begin{matrix}2(4x-9)-7y=142\\6x-2(3y+8)=98\end{matrix}\right.

b.\left\{\begin{matrix}3(x-5)+8=2y-1\\4-(3y+x)=5(4-1x)\end{matrix}\right.

c.\left\{\begin{matrix}0,4x-1,2y=0,2\\0,2x+0,9y=1,6\end{matrix}\right.



  • 1a.\left\{\begin{matrix}4x-2y=14\\3x+5y=4\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}12x-6y=42\\12x+20y=16\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-26y=26\\12x+20y=16\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-1\\12x+20y=16\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-1\\12x+20\times (-1)=16\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-1\\12x+(-20)=16\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-1\\12x-20=16\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-1\\12x=16+20\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-1\\12x=16+20\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-1\\12x=36\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-1\\x=\frac{36}{12}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-1\\x=3\end{matrix}\right.


  • 1b.\left\{\begin{matrix}5x+2y=18\\x-2y=6\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}5x+2y=18\\5x-10y=30\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}5x+2y-(5x-10y)=18-30\\5x-10y=30\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}12y=-12\\5x-10y=30\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-1\\5x-10\times (-1)=30\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-1\\5x+10=30\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-1\\5x=20\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-1\\x=4\end{matrix}\right.


  • 1c.\left\{\begin{matrix}x+3y=12\\2x+y=34\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2+6y=24\\2x+y=34\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2+6y-(2x+y)=24-34\\2x+y=34\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}5y=-10\\2x+y=34\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-2\\2x+(-2)=34\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-2\\2x=34+2\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-2\\2x=36\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=-2\\x=18\end{matrix}\right.


  • 2a.\left\{\begin{matrix}2(4x-9)-7y=142\\6x-2(3y+8)=98\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}8x-18-7y=142\\6x-6y-16=98\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}8x-7y=160\\6x-6y=114\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}48x-42y=960\\48x-48y=914\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}48x-42y-(48x-48y)=960-914\\48x-48y=914\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}6y=46\\48x-48y=914\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=\frac{46}{6}=\frac{23}{3}\\48x-48y=914\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=\frac{23}{3}\\48x-48\times \frac{23}{3}=914\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=\frac{23}{3}\\\frac{144x}{3}- \frac{1104}{3}=\frac{2742}{3}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=\frac{23}{3}\\144x- 1104=2742\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=\frac{23}{3}\\144x=3846\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=\frac{23}{3}\\x=\frac{641}{24}\end{matrix}\right.
  • 2b.\left\{\begin{matrix}3(x-5)+8=2y-1\\4-(3y+x)=5(4-1x)\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}3x-15+8=2y-1\\4-3y+x=20-5x\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}3x-7-2y=-1\\6x-3y=16\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}3x-2y=6\\6x-3y=16\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}6x-4y=12\\6x-3y=16\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}6x-4y-(6x-3y)=12-16\\6x-3y=16\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-y=-4\\6x-3y=16\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=4\\6x-3\times 4=16\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=4\\6x-12=16\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=4\\6x=28\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=4\\x=\frac{28}{6}\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=4\\x=\frac{14}{3}\end{matrix}\right.


  • 2c.\left\{\begin{matrix}0,4x-1,2y=0,2\\0,2x+0,9y=1,6\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}0,4x-1,2y=0,2\\0,4x+1,8y=3,2\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}0,4x-1,2y-4x-1,8y=0,2-3,2\\0,4x+1,8y=3,2\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-3y=-3\\0,4x+1,8y=3,2\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=1\\0,4x+1,8=3,2\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=1\\0,4x=1,4\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y=1\\x=3,5\end{matrix}\right.

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