Nombre d'or

Exercices

Exercice 1

Difficulté : (Niveau seconde)

1 - Construire un triangle ABC rectangle en B avec AB = 2BC. Le cercle de centre C et de rayon BC coupe le segment [AC] en D. Le cercle de centre A et de rayon AD coupe le segment [AB] en M

2 - En posant $BC=c$, calculer, en fonction de c, les distances AB, AC, AM, MB.
En déduire que $\frac{AM}{MB}=\frac{\sqrt{5}-1}{3-\sqrt{5}}$.

3 - En multipliant le numérateur et le dénominateur par $3+\sqrt{5}$, montrer que $\frac{AM}{MB}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Ce nombre est appellé le nombre d'or et est noté $\phi$

solution

Figure exercice 1

• Construction (cliquer sur l'image pour voir la figure à étudier)

• Calcul, en fonction de c, des distances AB, AC, AM, MB

On sait que $AB=2BC$, or $BC=c$ donc : $AB=2c$

D'après le théorème de Pythagore (comme ABC est un triangle rectangle en B), on a $AC^2=BC^2+AB^2$.

$AC^2=c^2+(2c)^2$

$AC^2=5c^2$

$AC=\sqrt{5}c$

Avant de calculer AM, il faudrait calculer CD. D est l'intersection du cercle de centre C et de rayon BC avec le segment [AC]. Donc $BC=CD$

Donc : $AD=AC-CD=\sqrt{5}c-c=(\sqrt{5}-1)c$

Or : M est l'intersection du cercle de centre A et de rayon [AD] et le segment [AB].

Donc : $AD=AM=(\sqrt{5}-1)c$

On sait que $MB=AB-AM$, or $AB=2c$

Donc : $MB=2c-(\sqrt{5}-1)c =(-\sqrt{5}+3)c$

• En déduire que $\frac{AM}{MB}=\frac{\sqrt{5}-1}{3-\sqrt{5}}$

On calcule le rapport $\frac{AM}{MB}$

$\frac{AM}{MB}=\frac{(\sqrt{5}-1)c}{(3-\sqrt{5})c}$

On peut simplifier en haut et en bas par c.

Cela nous donne donc $\frac{AM}{MB}=\frac{\sqrt{5}-1}{3-\sqrt{5}}$

• Montrer que $\frac{AM}{MB}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

On multiplie en haut et en bas de la fraction par $3+\sqrt{5}$ (ceci s'appelle aussi l'expression conjugé du dénominateur).

$\frac{AM}{MB}=\frac{\sqrt{5}-1}{3-\sqrt{5}} \times \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}+4}{9-5}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$