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Dans cet article, on essaie de montrer quelles sont les coordonnées de l'intersection de deux fonctions affines (quelque soit la fonction affine).

ExempleModifier

Intersection affines

Vérification de l'exemple

Soit deux fonctions $ x \mapsto 3x+2 $ et $ x \mapsto 5x-3 $. Il faut chercher l'intersection des deux droites représentant les fonctions.

Il suffit de résoudre cette équation : $ 3x+2 = 5x-3 $

$ 3x+2 = 5x-3 $

$ 3x-5x = -3-2 $

$ -2x= -5 $

$ x=\frac{5}{2} $

On cherche ensuite f($ \frac{5}{2} $). Cela donne $ 5 \times \frac{5}{2} - 3 = \frac{19}{2} $

Les coordonnées du point A d'intersection sont ($ \frac{5}{2} $,9.5)

Cas généralModifier

On distingue quatre cas.

Quand a est différent de c et b différent de dModifier

Soit a, b, c et d, quatre nombres donnés (avec $ a \neq c $ et $ b \neq d $). Soit les fonctions $ x \mapsto ax+b $ et $ x \mapsto cx+d $. Pour trouver l'intersection entre deux droites de fonctions affines, il faut résoudre l'égalité $ ax+b = cx+d $

$ ax+b = cx+d $

$ ax-cx=d-b $

$ (a-c)x=d-b $

$ x=\frac{d-b}{a-c} $

Il reste à chercher f($ \frac{d-b}{a-c} $).

$ f(\frac{d-b}{a-c})=a(\frac{d-b}{a-c})+b =\frac{ad-ab+b(a-c)}{a-c} = \frac{ad-bc}{a-c} $

Vérification avec l'exempleModifier

Soit a=1/3, b=4/3, c=-1/3, d=2.

Coordonnées de l'intersection des deux droites représentant ces deux fonctions $ x \mapsto 3x+2 $ et $ x \mapsto 5x-3 $.

$ x=\frac{-3-2}{3-5}=\frac{5}{2} $

$ y=\frac{3 \times -3-2 \times 5}{3-5}=\frac{19}{2} $

Quand a est égal à c et b différent de dModifier

Soit a, b, c et d quatre donnés (avec $ a=c $ et $ b \neq d $). Soit les fonctions $ x \mapsto ax+b $ et $ x \mapsto cx+d $. On peut remarquer que la deuxième fonction peut s'écrire $ f(x)=ax+d $. Il faut résoudre l'équation $ ax+b=ax+d $ pour trouver l'intersection entre les deux droites représentant les deux fonctions.

$ ax+b=ax+d $

$ ax-ax=d-b $

$ 0x=d-b $

Le membre de gauche de cette égalité est nul. Le membre de droite ne l'est pas puisque b et d sont différents. L'égalité ci-dessus est impossible ; il n'existe donc pas de points d'intersection entre les droites représentant ces deux fonctions.

Quand a est différent de c et b égal à dModifier

Soit a, b, c et d quatre nombres donnés (avec $ a \neq c $ et $ b = d $). Soit les fonctions $ x \mapsto ax+b $ et $ x \mapsto cx+d $. On peut remarquer que la deuxième fonction peut s'écrire $ f(x)=ax+d $. Il faut résoudre l'équation $ ax+b=cx+b $ pour trouver l'intersection entre les deux droites représentant les deux fonctions.

$ ax+b=cx+b $

$ ax-cx=0 $

$ x=0 $

Cela nous ramène à trouver l'intersection entre deux droites représentant des fonctions linéaires (Voir Intersection entre deux fonctions linéaires)

Quand a est égal de c et b égal à dModifier

Soit a, b, c et d quatre nombres donnés (avec $ a=c $ et $ b=d $). Soit les fonctions $ x \mapsto ax+b $ et $ x \mapsto cx+d $. On peut remarquer que la deuxième fonction peut s'écrire $ f(x)=ax+d $. Il faut résoudre l'équation $ ax+b=ax+b $ pour trouver l'intersection entre les deux droites représentant les deux fonctions.

$ ax+b=ax+b $

$ 0x=0 $

Cette équation admet une infinité de solutions. L'ensemble des solutions est l'ensemble $ \mathbb{R} $. Les droites représentant les deux fonctions sont confondues.

Voir aussiModifier