Distributivité

La distributivité sert à développer, sous certaines conditions, des identités remarquables ou encore des expressions tel que $a(b+c)$ , ou $(a + b)(c + d)$ (où $a,b,c$ et $d$ sont quatre nombres donnés).

Omission du signe multiplication

$Loupe$ Pour plus de détails, voir : calcul littéral

Au lieu d'écrire $5 \times a$ où a est un nombre donnée, on peut écrire $5a$ .

$Attention$

On ne peut pas écrire que $2 \times 7$ est égale à $27$ mais est égale à $14$

Développer $a(b+c)$

En cinquième, on voit le développement de $a(b+c)$ ou encore $a(b-c)$ . La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction. On peut donc écrire tout naturellement $a(b+c)$ sans préciser que cela soit une multiplication.

Le développement de $a(b+c)$ est $ab+ac$ .

De même que pour $a(b-c)$ qui donne cette fois-ci : $ab-ac$ .

Exemple

Soit $A=5(3x+2)$ et $B=4(5x-2)$

Développer A et B.

solution

Développement de A

A=5(3x+2)

A=5 \times 3x+5 \times 2

A=15x+10

Développement de B

B=4(5x-2)

B=4 \times 5x-4 \times 2

B=20x-8

Développer $(a + b)(c + d)$

Le développement de $(a + b)(c + d)$ donne $ac + ad + bc + bd$ .

Exemple

Soit $C=(3x+2)(5x-6)$ .

Développer et réduire C (Ici, réduire veut dire avoir l'expression la plus simple possible).

solution

Développement de C

C=(3x+2)(5x-6)

C=3x \times 5x + 2 \times 5x - 3x \times 6 - 2 \times 6

C=15x^2+10x-18x-12

Réduction de C

C=15x^2+10x-18x-12

C=15x^2-8x-12

Développer $a(b(c+d))$

Soit quatres termes $a,b,c$ et $d$ . On veut développer une expression du type $a(b(c+d)$ . On peut procéder de deux manières pour développer cette expression.

Première étape

Il suffit de développer l'expression $b(c+d)$ . Cela donne donc $b(c+d)=bc+bd$
Ensuite, il faut encore développer la parenthèse devant le $a$ car on a maintenant : $a(bc+bd)$
$a(bc+cd)=abc+abd$

Seconde étape

Devélopper $a(b)$ .
On a donc : $a(b(c+d))=ab(c+d)$
On développe l'expression $ab(c+d)=abc+abd$

Exemple

Soit $P=3x(2(5x+4))$ .

Développer et réduire P.

solution

Développement et réduction de P

Première méthode

P=3x(2(5x+4))=3x(10x+8)=30x^2+24x

Deuxième méthode

P=3x(2(5x+4))=6x(5x+4)=30x^2+24x

Méthode pour ne pas se tromper dans son développement

Pour ne pas se tromper dans son développement, on peut utiliser des flèches qui relient chaque terme.

Par exemple, si on a une expression du type $(a + b)(c + d)$ , on peut faire quatre flèches, une partant de $a$ vers $c$ , une autre partant de $a$ vers $d$ , une autre partant de b vers c, une autre partant de $b$ vers $d$ .

$Fléches développement$

Différence entre distributivité et factorisation

$\begin{matrix}developper \\ \longrightarrow \, \longrightarrow \, \longrightarrow \\ (a+b)(c+d)=ac+bc+bd+ad \\ \longleftarrow\, \longleftarrow \, \longleftarrow\\ factoriser \end{matrix}$

Identités remarquables

Pour plus de détails, voir : Identités remarquables

Les identités remarquables à retenir :
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Exercice

Exercice 1

D'après Brevet groupement nord $2006$

Difficulté :

Enoncé
Soit $D=(2x+3)^2+(2x+3)(7x-2)$

Questions
1 - Développer et réduire D.
2 - Factoriser D. ((Voir aussi : factorisation)
3 - Calculer D pour $x = -4$ .
4 - Résoudre l'équation $(2x+3)(9x+1)=0$ (Voir aussi : équation)