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La distributivité sert à développer, sous certaines conditions, des identités remarquables ou encore des expressions tel que $a(b+c)$ , ou $(a+b)(c+d)$ (où $a,b,c$ et $d$ sont quatre nombres donnés).

$Attention$

On ne peut pas écrire que $2 \times 7$ est égale à $27$ mais est égale à $14$

Sommaire

1 Développer
2 Développer
- 2.1 Exemples
3 2 Manières pour développer
4 Méthode pour ne pas se tromper dans son développement
5 Différence entre distributivité et factorisation
6 Identités remarquables
7 questions pour développer, factorisé et résoudre d'aprés un énoncé.
- 7.1 Exercice 2

Développer $a(b+c)$ Modifier

En cinquième, on voit le développement de $a(b+c)$ ou encore $a(b-c)$ . La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction. On peut donc écrire tout naturellement $a(b+c)$ sans préciser que cela soit une multiplication.

Le développement de $a(b+c)$ est $ab+ac$ .

De même que pour $a(b-c)$ qui donne cette fois-ci : $ab-ac$ .

Développer $(a+b)(c+d)$ Modifier

Le développement de $(a+b)(c+d)$ donne : $ac+ad+bc+bd$

Exemples Modifier

Soit (2+3)x(4+8) alors d'après la double distributivité, (2+3)x(4+8)=2x4+2x8+3x4+3x8

solution

Développement de C

$C=(3x+2)(5x-6)$

$C=3x \times 5x + 2 \times 5x - 3x \times 6 - 2 \times 6$

$C=15x^2+10x-18x-12$

Réduction de C

$C=15x^2+10x-18x-12$

$C=15x^2-8x-12$

2 Manières pour développerModifier

Soit quatre termes $a, b, c$ et $d$ . On veut développer une expression du type $a(b(c+d))$ . On peut procéder de deux manières pour développer cette expression.

Première étapeModifier

Il suffit de développer l'expression $b(c+d)$ . Cela donne donc $b(c+d)=bc+bd$
Ensuite, il faut encore développer la parenthèse devant le $a$ car on a maintenant : $a(bc+bd)$

Seconde étapeModifier

Développer $a(b)$ .
On a donc : $a(b(c+d))=ab(c+d)$
On développe l'expression $ab(c+d)=abc+abd$

ExempleModifier

Soit $P=3x(2(5x+4))$ .

Développer et réduire cette expression jusqu’à ce qu'il n'y ait plus de chiffres.

Méthode pour ne pas se tromper dans son développementModifier

Pour ne pas se tromper dans son développement, on peut utiliser des flèches qui relient chaque terme.

Par exemple, si on a une expression du type $(a+b)(c+d)$ , on peut faire quatre flèches, une partant de $a$ vers $c$ , une autre partant de $a$ vers $d$ , une autre partant de b vers c, une autre partant de $b$ vers $d$ .

$Fléches développement$

Différence entre distributivité et factorisationModifier

$\begin{matrix}developper \\ \longrightarrow \, \longrightarrow \, \longrightarrow \\ (a+b)(c+d)=ac+bc+bd+ad \\ \longleftarrow\, \longleftarrow \, \longleftarrow\\ factoriser \end{matrix}$

Identités remarquablesModifier

$Loupe$ Pour plus de détails, voir : Identités remarquables

Les identités remarquables à retenir :
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

questions pour développer, factorisé et résoudre d'aprés un énoncé.Modifier

D'aprés le plus grand mathématicien du Monde . $2006$

Difficulté :

Enoncé
Soit $D=(2x+3)^2+(2x+3)(7x-2)$

questions

1 - Développer et réduire D.
2 - Factoriser D. ((Voir aussi : factorisation)
3 - Calculer D pour x= -4
4 - Résoudre l'équation $(2x+3)(9x+1)=0$ (Voir aussi : équation)

solution

Développement et réduction de D

$D=(2x+3)^2+(2x+3)(7x-2)$

$D=4x^2+12x+9+(14x^2+21x-4x-6)$

$D=18x^2+29x+3$

Factorisation de D

$D=(2x+3)^2+(2x+3)(7x-2)$

$D=(2x+3)(2x+3)+(2x+3)(7x-2)$

$D=(2x+3)(2x+7x+3-2)$

$D=(2x+3)(9x+1)$

Vérification : $D=(2x+3)(9x+1)=18x^2+27x+2x+3=18x^2+29x+3$

Calcul de D pour $x=-4$

$D=(2(-4)+3)(9(-4)+1)$

$D=(-8+3)(-36+1)$

$D=-5 \times -35$

$D=175$

Résoudre l'équation $(2x+3)(9x+1)=0$

" On sait que si un produit de deux facteurs est nul alors l'un des deux facteurs est nul. "

Il y a donc deux solutions à cette équation.

Soit,

$2x+3=0$

$2x=-3$

$x=\frac{-3}{2}$

ou

$9x+1=0$

$9x=-1$

$x=\frac{-1}{9}$

Les deux solutions de cette équation sont ( $\frac{-3}{2};\frac{-1}{9}$ ).

En première, on apprendra la résolution des équations du second degré.

Exercice 2Modifier

Développer et réduire

(6 - x)² - (6 - x) (4 - x) + 2(36 - x²)+ 100

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Développer $a(b+c)$ Modifier