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Difficulté : 3stars

Dans cet article, on veut calculer l'expression $ (A+P)^2 $ sachant que A est l'aire d'un polygone quelconque et P le périmètre de ce même périmètre.

Quelques exemples de calcul de cette expression avec le carré, le rectangle et le cercle.

CarréModifier

La formule $ (A+P)^2 $ est adéquat avec le carré car elle peut se simplifier très simplement grâce à la relation qui existe entre P et A.

On a : $ P=4c $ et $ A=c^2 $

Le rapport $ \frac{A}{P} $ est égale à $ \frac{c}{4} $.

On veut calculer $ (A+P)^2 $ : $ (A+P)^2=A^2+2AP+P^2 $

$ (A+P)^2=c^4+2\times4cc^2+(4c)^2 $

$ (A+P)^2=c^4+8c^3+16c^2 $

$ (A+P)^2=c^2(c^2+8c+16) $

$ (A+P)^2=A(A+2P+16) $

RectangleModifier

Pour un rectangle, cela devient plus difficile car au lieu d'avoir une inconnue, on en a deux.

On a : $ P=l+L $ et $ A=Ll $

On peut calculer le rapport : $ \frac{A}{P}=\frac{lL}{L+l} $

On va maintenant calculer $ (A+P)^2 $ : $ (A+P)^2=A^2+2AP+P^2 $

$ (A+P)^2=(Ll)^2+2(Ll)(l+L)+(L+l)^2 $

$ (A+P)^2=L^2l^2+2Ll^2+2L^2l+L^2+2lL+l^2 $

$ (A+P)^2=Ll(Ll+2l+2L+\frac{L^2}{lL}+2+\frac{l^2}{lL}) $

$ (A+P)^2=A(A+2(l+L)+\frac{L^2}{lL}+2+\frac{l^2}{lL}) $

$ (A+P)^2=A(A+2P+\frac{L^2}{lL}+2+\frac{l^2}{lL}) $

CercleModifier

On a : $ P=2r\pi $ et $ A=\pi r^2 $

Calculons $ (A+P)^2 $

$ (A+P)^2=A^2+2AP+P^2 $

$ (A+P)^2=\pi ^2 r^4+4(r \pi)(\pi r^2)+(2r \pi)^2) $

$ (A+P)^2=\pi ^2 r^4+4(r^3 \pi^2)+4r^2 \pi^2) $

$ (A+P)^2=\pi r^2(\pi r^2+4r \pi+4 r\pi) $

$ (A+P)^2=A(A+2P+4\pi) $

Explication et méthode plus rapideModifier

On peut vite factoriser l'expression (A+P)^2 en mettant A en facteur. Cela donne alors :

$ (A+P)^2=A^2+2AP+P^2 $

$ (A+P)^2=A(A+2P+\frac{P^2}{A}) $

Il faut alors connaître le rapport $ \frac{P^2}{A} $ pour calculer rapidement $ (A+P)^2 $.

Calcul de $ \frac{P^2}{A} $Modifier

CarréModifier

$ \frac{P^2}{A}=\frac{4^2c^2}{c^2}=16 $

RectangleModifier

$ \frac{P^2}{A}=\frac{(l+L)^2}{lL}=\frac{L^2+2Ll+l^2}{lL}=\frac{L^2}{lL}+2+\frac{l^2}{lL} $

CercleModifier

$ \frac{P^2}{A}=\frac{(2r \pi)^2}{\pi r^2}=\frac{4r^2 \pi ^2}{\pi r^2}=4\pi $